[2015년 덕이고]

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[2학년 1학기 기말 미적분1]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (3,```4)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: -3]이다. [eqn: g(x)=3x ^{3} f(x)]일 때, [eqn: g'(3)]의 값은? [4.3점]

④

① [eqn: -567]	② [eqn: -81]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 81]	⑤ [eqn: 567]

함수 [eqn: f(x)=3x ^{3} +(a+2)x ^{2} +ax+1]이 극값을 갖지 않도록 하는 정수 [eqn: a]의 값의 합은? [4.5점]

②

① [eqn: 5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 28]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)=x ^{2} -2x+3]일 때, 닫힌구간 [eqn: [2,```5]]에 속하는 서로 다른 임의의 두 실수 [eqn: a], [eqn: b(a<b)]에 대하여[eqn: {f(b)-f(a)} over {b-a} =k]를 만족시키는 실수 [eqn: k]의 값의 집합을 [eqn: A]라고 하자. 이 때, 집합 [eqn: A]에 속하는 정수의 개수는? [4.3점]

⑤

① [eqn: 3]개	② [eqn: 4]개	③ [eqn: 5]개

④ [eqn: 6]개	⑤ [eqn: 7]개

좌표평면에서 삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -(a-1)x ^{2} +ax]와 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,```f(t))]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmP]라 할 때, 원점에서 점 [eqn: rmP]까지 거리를 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 실수 전체에서 미분 가능할 때, [eqn: f(2)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [5.1점]

⑤

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

사차함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f `prime (x)]가
[eqn: f`'(x)=(x+2)(x ^{2} +ax+b)]
이다. 함수 [eqn: y=f(x)]가 구간 [eqn: (- INF ,```0)]에서 감소하고, 구간 [eqn: (1,```inf)]에서 증가하도록 하는 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. [eqn: M+m]의 값은? [4.8점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

좌표평면에서 두 곡선 [eqn: y=x ^{2} -4와````y=4-x ^{2}]으로 둘러싸인 도형에 내접하고, 한 변이 [eqn: x]축에 평행한 직사각형의 넓이의 최댓값은? [4.7점]

④

① [eqn: {8 sqrt {3}} over {9}]	② [eqn: {16 sqrt {6}} over {3}]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: {64 sqrt {3}} over {9}]	⑤ [eqn: {40 sqrt {15}} over {3}]

[eqn: x]에 대한 사차방정식 [eqn: x ^{4} +4x ^{3} -8x ^{2} +a=0]이 서로 다른 네 실근을 갖게 하는 정수 [eqn: a]의 집합은? [4.4점]

②

① [eqn: left{2,```3right]	② [eqn: LEFT { 1,```2 RIGHT }]	③ [eqn: LEFT { 0,```1 RIGHT }]

④ [eqn: LEFT { -1,```0 RIGHT }]	⑤ [eqn: LEFT { -2,```-1 RIGHT }]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f` prime (x)=x ^{2} -x], [eqn: f(0)=2]를 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은? [4.1점]

①

① [eqn: {11} over {6}]	② [eqn: {7} over {3}]	③ [eqn: {17} over {6}]

④ [eqn: {10} over {3}]	⑤ [eqn: {23} over {6}]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다. 이 때, [eqn: f(2)]의 값은? [4.5점]

⑤

(가) [eqn: f`'(1)=1]

(나) 모든 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여

[eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y)-1]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.4점]

②

ㄱ. [eqn: int _{0} ^{1} { left{f(x) right} ^{2} dx= LEFT { int _{0} ^{1} {f(x)dx} RIGHT } ^{2}}]

ㄴ. [eqn: f`'(x)=g(x)]이면 [eqn: f(x)= int _{} ^{} {g(x)dx}]이다.

ㄷ. [eqn: f(x)=8x-3x ^{2}]이면 [eqn: int _{0} ^{3} {f(x)dx=3 int _{0} ^{1} {f(x)dx}}]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)= LEFT | x RIGHT |]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x)= int _{-1} ^{x} {(t-1)f(t)dt}]
라고 하자. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.8점]

③

ㄱ. [eqn: g(x)]는 구간 [eqn: (1,```2)]에서 증가한다.

ㄴ. [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 미분가능하다.

ㄷ. 방정식 [eqn: g(x)=k]가 서로 다른 세 실근을 갖도록

하는 실수 [eqn: k]가 존재한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: lim _{n-> INF } {{(1 ^{3} +2 ^{3} +3 ^{3} +`···+n ^{3} )(1 ^{5} +2 ^{5} +3 ^{5} +···+n ^{5} )} over {n ^{10}} = {p} over {q}}]일 때,
[eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수) [4.5점]

①

① [eqn: 25]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 29]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: int _{1} ^{x} {(x-t)f(t)dt=x ^{4} +ax ^{3} -5x ^{2} +2}]
가 성립할 때, [eqn: f(2)]의 값은? [4.6점]

⑤

① [eqn: 54]	② [eqn: 56]	③ [eqn: 58]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 62]

실수전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 있다. [eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [0,```1]]를 [eqn: n]등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례대로
[eqn: 0=x _{0} ,```x _{1} ,```x _{2} ,```cdots,```x _{n-1} ,```x _{n} =1]
이라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [5.0점]

④

ㄱ. [eqn: sum _{k=1} ^{n} {f(x _{k-1} )} over {n} LEQ int _{0} ^{1} {f(x)dx} LEQ sum _{k=1} ^{n} {f(x _{k} )} over {n}]

ㄴ. [eqn: lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} {1} over {n} LEFT { {f(x _{k-1} )+f(x _{k} )} over {2} RIGHT } = int _{0} ^{1} {f(x)dx}}]

ㄷ. [eqn: n=2m]이면 [eqn: lim _{m-> INF } {sum _{k=1} ^{m} f(x _{2k} ) DELTA x= {1} over {2} int _{0} ^{1} {f(x)dx}}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

서술형

[eqn: 0 LEQ x LEQ 3]일 때, 부등식
[eqn: 5x ^{3} -8x ^{2} +22 GEQ 7x ^{2} +2]
가 성립함을 보이시오. (단, 풀이과정에 함수의 증가와 감소를 나타낸 표와 그 함수의 그래프를 모두 제시하시오.) [9.0점]

[eqn: y=5x ^{3} -15x ^{2} +20]의 그래프

한 변의 길이가 [eqn: 8 sqrt {3}]인 정삼각형과 그 정삼각형에 내접하는 원으로 이루어진 도형이 있다. 이 도형에서 정삼각형의 각 변의 길이가 매초 [eqn: sqrt {3}]씩 늘어남에 따라 원도 정삼각형에 내접하면서 반지름의 길이가 늘어난다. 다음 물음에 답하시오. [총 9.0점]

(1) [eqn: r(t)= {1} over {2} t+4], [eqn: S(t)=pi LEFT ( {1} over {2} t+4 RIGHT ) ^{2}]

(2) [eqn: 9pi]

(1) [eqn: t]초가 되는 순간, 정삼각형에 내접하는 원의 반지름의

길이 [eqn: r(t)]와 넓이 [eqn: S(t)]를 각각 구하시오. [5.0점]

(2) 정삼각형의 한 변의 길이가 [eqn: 18 sqrt {3}]이 되는 순간,

정삼각형에 내접하는 원의 넓이의 시간(초)에 대한

변화율을 구하시오. [4.0점]

정적분의 정의를 이용하여 [eqn: int _{1} ^{3} {(1+x) ^{2} dx}]의 값을 구하시오.
[9.0점]

[eqn: 56over3]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]의 한 부정적분을 [eqn: F(x)]라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. [총 9.0점]

(1) [eqn: int_a ^b f(x)dx=F(b)-F(a)]

(2) [eqn: - {3} over {8}]

(1) 미적분학의 기본정리를 정확하게 서술하시오. [3.0점]

(2) 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: f(x)=x ^{3} -4x+3 int _{0} ^{1} {f(t)dt}]
를 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값을 구하시오. [6.0점]

[2015년 덕이고]

[2학년 1학기 기말 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com